以下の記事はフィクションであり、実在の関数　公式　アルゴリズムなどとは　一切関わりありません

ホントはエイプリルフールのネタに寝かせておこうかと思ったのですが、ちょっと目が冴えたので落書き。

みなさん、すでにフーリエ変換とかFFTはご存知だと思うので　そのあたりの説明は省略

微分としてのフーリエ変換

こんなありがちな時系列データ f が手元にあるとします。

これを微分したい！　たとえば、2点間の距離変化のデータだったとしたら、以前よりも伸びてるのか縮んでるのか調べたい。

ありがちなのが、適当に２つの期間の平均値をとって、その差を調べる方法。

ですが　「短期的に見ると下落してるけど、5年ぐらいのスパンで見るとあがってる」　みたいなこともありがちです。

ここで、fを微分する作業として、こんな窓関数を考えます。みなさんご存知のサイン関数とそっくりですが。
まずは　区間全体と掛けて合計してみます。
増加してたらプラス　下降してたらマイナスとなります

でも、短期的な変化も知りたいので、区間を半分にして、それぞれ　同じ窓関数と掛けて平均します。

さらに区間を分割していきます。

さて、同様に、この時系列データ f の二階微分をとりたいときは、（無理矢理）こんな窓関数を考えてみます。
（ご存知コサインですね。

 (f1 - f2) - (f2 - f3) = f1-2*f2 +f3

というわけです。

これをまとめると

微分 F(1)(n) = Σ f(t)sin(2nπt)
二階微分 f(2)(n) =   f(t)cos(2nπt)tは区間内での位置＝時刻　0<=t<=1

というどこかで見た式（＝離散フーリエ変換）になります。

さて、この微分 F(1) 二階微分 F(2) を使って　もとの時系列データ　f を表現してみましょう

関数 f を　その微分で表現する、といったら、テーラー展開です。

f(t) = Σ α1 F(1)(n)(t) +  Σ α2 F(2)(n)(t) +  

　　　　+ Σ α3 F(3)(n)(t) + Σ α4 F(4)(n)(t) +....

と、無限に続くのですが、 F(2) までしか計算してありません。困った。

なのですが、微分の中身は、ここでは三角関数です。
三角関数の微分は

Sin →　Cos →　-Sin →　-Cos →　Sin

とループしているので、微分と二回微分だけ計算してやれば　残りは　この2つの項の係数に入ってくることになります。

これで、逆フーリエ変換もできました。めでたしめでたし。

おしまい。